¿Qué es el valor en riesgo condicional (CVaR)?

El valor en riesgo condicional (CVaR), también llamado déficit esperado, mide la pérdida media en los peores casos. Donde el valor en riesgo (VaR) dice «las pérdidas deberían superar 1.645 € solo en el 5% de los días», el CVaR responde a la pregunta natural que sigue: cuando eso ocurre, ¿cómo de graves son de media?

Como mira dentro de la cola de la distribución, el CVaR capta el riesgo de pérdidas severas que el VaR ignora. Por esta razón, los reguladores bancarios han pasado del VaR al déficit esperado para medir el riesgo de mercado.

La fórmula

Para un nivel de confianza $\alpha$ como el 95%, el CVaR es la pérdida esperada $L$ condicionada a que sea al menos tan grande como el VaR:

\text{CVaR}_{\alpha} = E\left[\, L \mid L \ge \text{VaR}_{\alpha} \,\right]

Con datos históricos es simplemente la media de los peores resultados: al 95%, la pérdida media del 5% de días peores.

Bajo una distribución normal tiene forma cerrada:

\text{CVaR}_{\alpha} = V \, \sigma \, \frac{\varphi(z_{\alpha})}{1 - \alpha}

donde $V$ es el valor de la cartera, $\sigma$ su volatilidad en el horizonte considerado $y \varphi$ la densidad normal estándar. Al 95%, el factor $\varphi(z_{\alpha})/(1 - \alpha)$ ronda 2,06, frente a 1,645 en el VaR.

Un ejemplo sencillo

A lo largo de 100 sesiones, una cartera de 100.000 € registra estas cinco peores pérdidas diarias: 1.700 €, 1.900 €, 2.200 €, 3.000 € y 5.200 €.

El VaR al 95% es el umbral del 5% peor: unos 1.700 €.
El CVaR al 95% es la media de esos cinco días:

\text{CVaR}_{95\%} = \frac{1{,}700 + 1{,}900 + 2{,}200 + 3{,}000 + 5{,}200}{5} = 2{,}800

Otra cartera podría tener exactamente el mismo VaR pero con peores días entre 1.700 € y 2.000 €: el mismo umbral y una cola mucho menos peligrosa.

Por qué importa

Ve la cola. Los desplomes, y no los días malos corrientes, causan la mayor parte del daño duradero a una cartera. El CVaR es sensible a ellos; el VaR no.
Premia la diversificación de forma coherente. Combinar dos carteras nunca da un CVaR superior a la suma de sus CVaR por separado, una propiedad que el VaR no siempre cumple.
Se parece más a cómo se viven las pérdidas: en un mal periodo, ¿cuánto puede costar esto de media?

Límites

Pocas observaciones. Al 95%, solo uno de cada veinte días alimenta la media, y al 99%, uno de cada cien. Las estimaciones a partir de históricos cortos son inestables.
Sigue mirando hacia atrás. Un suceso extremo que no esté en los datos no puede aparecer en la estimación, y por eso las pruebas de estrés con escenarios hipotéticos la complementan.

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