Qu'est-ce que la VaR conditionnelle (CVaR) ?

La valeur en risque conditionnelle (CVaR), aussi appelée expected shortfall ou perte attendue, est la perte moyenne dans les cas où la perte dépasse le seuil de la VaR. Là où la VaR indique la limite que les mauvais jours ne franchissent pas, la CVaR décrit ce qui se passe quand elle est franchie.

C'est la réponse directe à la principale faiblesse de la VaR : deux portefeuilles peuvent partager la même VaR alors que leurs pires scénarios sont sans commune mesure.

La formule

Pour un niveau de confiance $\alpha$ :

\text{CVaR}_\alpha = \mathbb{E}\left[ L \mid L \ge \text{VaR}_\alpha \right]

où $L$ est la perte. Autrement dit : la moyenne de toutes les pertes situées dans la queue $(1-\alpha)$ de la distribution.

Avec des données historiques, le calcul est direct : trier les rendements, isoler les 5% les pires pour $\alpha = 95\%$ , et en prendre la moyenne. Sous hypothèse normale :

\text{CVaR}_\alpha = -\mu + \sigma \, \frac{\varphi(z_\alpha)}{1 - \alpha}

où $\varphi$ est la densité de la loi normale centrée réduite.

Un exemple chiffré

Sur 100 jours de bourse observés, les cinq pires rendements quotidiens d'un portefeuille de 100 000 € sont : −2,1%, −2,4%, −3,0%, −4,5% et −7,0%.

La VaR à 95% est le meilleur de ces cinq, soit 2,1% ou 2 100 €. La CVaR à 95% est leur moyenne :

\text{CVaR}_{95} = \frac{2{,}1 + 2{,}4 + 3{,}0 + 4{,}5 + 7{,}0}{5} = 3{,}8\%

soit 3 800 €. La journée typiquement mauvaise coûte donc près du double de ce que le chiffre de VaR laisse entendre.

Pourquoi elle est préférée

Elle regarde dans la queue. Un portefeuille exposé à des pertes extrêmes rares affiche une VaR flatteuse et une CVaR révélatrice.
Elle est cohérente au sens mathématique. La CVaR d'un portefeuille combiné ne dépasse jamais la somme des CVaR de ses composantes : la diversification ne peut pas dégrader la mesure. La VaR ne garantit pas cette propriété.
La réglementation l'a adoptée. Le cadre bancaire de Bâle a remplacé la VaR par l'expected shortfall à 97,5% pour le risque de marché.

Limites

Elle repose sur peu d'observations. À 95% sur 100 jours, cinq points seulement déterminent le chiffre, qui devient donc très instable.
Elle dépend entièrement du modèle de queue. Sous hypothèse normale, elle sous-estime la réalité tout autant que la VaR.
Elle reste une moyenne. Une perte catastrophique unique peut encore dépasser largement la CVaR.

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