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Che cos'è il Conditional Value at Risk (CVaR)?

Il Conditional Value at Risk (CVaR), detto anche expected shortfall, misura la perdita media nei casi peggiori. Dove il Value at Risk (VaR) dice «le perdite dovrebbero superare 1.645 € solo nel 5% dei giorni», il CVaR risponde alla domanda che segue naturalmente: quando accade, quanto sono gravi in media?

Poiché guarda dentro la coda della distribuzione, il CVaR coglie il rischio di perdite severe che il VaR ignora. Per questo motivo le autorità di vigilanza bancaria sono passate dal VaR all'expected shortfall per misurare il rischio di mercato.

La formula

Per un livello di confidenza α\alpha come il 95%, il CVaR è la perdita attesa LL condizionata al fatto che sia almeno pari al VaR:

CVaRα=E[ L∣L≥VaRα ]\text{CVaR}_{\alpha} = E\left[\, L \mid L \ge \text{VaR}_{\alpha} \,\right]

Con dati storici è semplicemente la media degli esiti peggiori: al 95%, la perdita media nel 5% di giorni peggiori.

Sotto una distribuzione normale ha una forma chiusa:

CVaRα=V σ φ(zα)1−α\text{CVaR}_{\alpha} = V \, \sigma \, \frac{\varphi(z_{\alpha})}{1 - \alpha}

dove VV è il valore del portafoglio, σ\sigma la sua volatilità sull'orizzonte considerato eφe \varphi la densità normale standard. Al 95%, il fattore φ(zα)/(1−α)\varphi(z_{\alpha})/(1 - \alpha) vale circa 2,06, contro 1,645 del VaR.

Un esempio semplice

Nell'arco di 100 sedute, un portafoglio da 100.000 € registra queste cinque peggiori perdite giornaliere: 1.700 €, 1.900 €, 2.200 €, 3.000 € e 5.200 €.

  • Il VaR al 95% è la soglia del 5% peggiore: circa 1.700 €.
  • Il CVaR al 95% è la media di quei cinque giorni:
CVaR95%=1,700+1,900+2,200+3,000+5,2005=2,800\text{CVaR}_{95\%} = \frac{1{,}700 + 1{,}900 + 2{,}200 + 3{,}000 + 5{,}200}{5} = 2{,}800

Un secondo portafoglio potrebbe avere esattamente lo stesso VaR ma giorni peggiori compresi tra 1.700 € e 2.000 €: la stessa soglia, e una coda assai meno pericolosa.

Perché conta

  • Vede la coda. Sono i crolli, non le giornate negative ordinarie, a fare la maggior parte del danno duraturo a un portafoglio. Il CVaR è sensibile a essi; il VaR no.
  • Premia la diversificazione in modo coerente. Unire due portafogli non dà mai un CVaR superiore alla somma dei rispettivi CVaR, una proprietà che il VaR non sempre possiede.
  • È più vicino al modo in cui le perdite vengono vissute: in un periodo negativo, quanto può costare questo in media?

Limiti

  • Poche osservazioni. Al 95% solo un giorno su venti alimenta la media, e al 99% uno su cento. Le stime basate su storici brevi sono instabili.
  • Guarda comunque all'indietro. Un evento di coda assente dai dati non può comparire nella stima, ed è per questo che gli stress test con scenari ipotetici la completano.

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