O que é o Conditional Value at Risk (CVaR)?

O Conditional Value at Risk (CVaR), também chamado de perda esperada ou expected shortfall, mede a perda média nos piores casos. Enquanto o Value at Risk (VaR) diz que as perdas só devem superar 1.645 € em 5% dos dias, o CVaR responde à pergunta natural seguinte: quando isso acontece, quão ruim é em média?

Por olhar para a cauda da distribuição, o CVaR captura o risco de perdas severas que o VaR ignora. Reguladores bancários passaram do VaR para a perda esperada na medição de risco de mercado justamente por isso.

A fórmula

Para um nível de confianç $a \alpha$ , digamos 95%, o CVaR é a perda esperada $L$ dado que ela é pelo menos tão grande quanto o VaR:

\text{CVaR}_{\alpha} = E\left[\, L \mid L \ge \text{VaR}_{\alpha} \,\right]

Com dados históricos, é simplesmente a média dos piores resultados: em 95%, a perda média dos 5% piores dias.

Sob distribuição normal existe forma fechada:

\text{CVaR}_{\alpha} = V \, \sigma \, \frac{\varphi(z_{\alpha})}{1 - \alpha}

onde $V$ é o valor da carteira, $\sigma a$ volatilidade no prazo $e \varphi a$ densidade da normal padrão. Em 95%, o fator vale cerca de 2,06, contra 1,645 do VaR.

Um exemplo simples

Em 100 pregões, uma carteira de 100.000 € teve estas cinco piores perdas diárias: 1.700 €, 1.900 €, 2.200 €, 3.000 € e 5.200 €.

O VaR de 95% é o limite dos 5% piores: cerca de 1.700 €.
O CVaR de 95% é a média desses cinco dias:

\text{CVaR}_{95\%} = \frac{1{,}700 + 1{,}900 + 2{,}200 + 3{,}000 + 5{,}200}{5} = 2{,}800

Uma segunda carteira poderia ter exatamente o mesmo VaR, com piores dias entre 1.700 € e 2.000 €: mesmo limite, cauda bem menos perigosa.

Por que importa

Ele enxerga a cauda. São os crashes, e não os dias ruins comuns, que causam o dano duradouro. O CVaR reage a eles; o VaR não.
Ele recompensa a diversificação de forma consistente. O CVaR de duas carteiras combinadas nunca supera a soma dos seus CVaRs separados, propriedade que o VaR nem sempre tem.
Ele está mais perto de como a perda é vivida: em um período ruim, quanto isso pode custar em média?

Limitações

Poucas observações. Em 95%, apenas um dia em vinte entra na média; em 99%, um em cem. Estimativas com históricos curtos são instáveis.
Ele ainda olha para trás. Um evento de cauda ausente dos dados não aparece na estimativa, por isso testes de estresse com cenários hipotéticos o complementam.

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