O que é o Value at Risk (VaR)?

O Value at Risk (VaR) estima quanto uma carteira poderia perder em um determinado prazo, com um determinado nível de confiança. Dizer "VaR diário de 95% igual a 1.500 €" significa: em 95 de cada 100 dias, espera-se que a carteira perca menos de 1.500 €; nos outros cinco, a perda pode ser maior. Bancos e reguladores usam o VaR amplamente, e ele traduz uma volatilidade abstrata em um valor em euros.

Ele sempre tem três ingredientes: um prazo (um dia, dez dias, um ano), um nível de confiança (normalmente 95% ou 99%) e um valor de perda.

A fórmula

Supondo retornos normalmente distribuídos, o VaR paramétrico é:

\text{VaR}_{\alpha} = V \times (z_{\alpha} \, \sigma - \mu)

onde $V$ é o valor da carteira, $\sigma e \mu a$ volatilidade e o retorno esperado no prazo, $e z_{\alpha} o$ quantil da normal padrão: 1,645 para 95% e 2,326 para 99%. Em um único dia, $\mu$ é tão pequeno que costuma ser omitido.

O VaR histórico dispensa a hipótese de normalidade: ordena os retornos passados e lê a perda no percentil 5 (ou no 1, para 99%).

Um exemplo simples

Uma carteira de 100.000 € tem volatilidade diária de 1%:

\text{VaR}_{95\%} = 100{,}000 \times 1{,}645 \times 1\% \approx 1{,}645

Em cerca de um pregão a cada vinte — algo como uma dúzia de dias por ano — espera-se perda acima de 1.645 €. Com 99% de confiança, o limite sobe para cerca de 2.326 €, superado em dois ou três dias por ano.

Como lê-lo

É um limite, não um máximo. O VaR diz com que frequência uma perda deve ser superada, não por quanto. As perdas além dele podem ser várias vezes maiores.
Cresce com o prazo, aproximadamente com a raiz do tempo: um VaR diário de 1.645 € corresponde a cerca de 26.000 € em um ano de 252 pregões, antes de considerar retornos esperados.
Compare coisas equivalentes. Um VaR diário de 95% e um VaR de dez dias a 99% da mesma carteira são números muito diferentes.

Limitações

Caudas grossas. Mercados reais têm mais dias extremos do que a normal prevê, então o VaR paramétrico tende a subestimar o risco de crashes.
Períodos calmos favorecem. Um VaR histórico estimado em anos tranquilos diz pouco sobre a próxima crise.
Ele é cego além do limite. Duas carteiras com o mesmo VaR podem ter cenários extremos muito diferentes. É exatamente aí que entra o CVaR.

Um exemplo numérico

Resolvido em uma carteira de exemplo. Os números abaixo são dessa carteira, não da sua.

Qual é o meu Value at Risk (VaR)?

O Value at Risk (VaR) não está directamente disponível nos valores mostrados. Posso calcular um VaR simples a partir da volatilidade anualizada do portfólio e assumir uma distribuição normal. Quer que eu faça isso com níveis de confiança comuns (95% e 99%) e usando a volatilidade anualizada atual?

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