O que é o retorno ponderado pelo dinheiro (TIR / XIRR)?

O retorno ponderado pelo dinheiro é a taxa anual que o dinheiro de uma carteira efetivamente rendeu, levando em conta quando e quanto foi investido. Matematicamente é a taxa interna de retorno (TIR) do fluxo de caixa: a única taxa anual que faz aportes, resgates e valor final fecharem exatamente.

Quando as movimentações caem em datas irregulares, como em qualquer carteira real, o cálculo usa a contagem exata de dias. Essa versão é conhecida como XIRR, pelo nome da função de planilha que a calcula.

A fórmula

Cada movimentaçã $o C_k$ entra com a sua data $t_k$ : aportes são negativos (dinheiro sai do bolso do investidor), resgates e o valor final são positivos. O retorno ponderado pelo dinheiro é a taxa $r$ que resolve:

\sum_{k} \frac{C_k}{(1 + r)^{(t_k - t_0)/365}} = 0

onde $t_0$ é a data da primeira movimentação. Não existe fórmula que dê $r$ diretamente: o valor é encontrado numericamente, testando taxas até a soma zerar.

Um exemplo simples

Em 1º de janeiro são investidos 10.000 €, e até o fim de junho a carteira cresce para 11.000 €. Em 1º de julho entram mais 10.000 €, e o ano termina com 19.950 €. A taxa procurada é $o r$ tal que:

-10{,}000 - \frac{10{,}000}{(1 + r)^{0{,}5}} + \frac{19{,}950}{1 + r} = 0

A solução fica em torno de $r \approx -0{,}33\%$ . O dinheiro rendeu um pouco menos que nada, embora os próprios investimentos tenham rendido +4,5% ponderados pelo tempo no mesmo ano. A diferença é o momento: havia o dobro de dinheiro aplicado no semestre ruim.

Como interpretá-lo

Ele é pessoal. Dois investidores no mesmo fundo têm o mesmo retorno ponderado pelo tempo, mas retornos ponderados pelo dinheiro diferentes se investiram em momentos diferentes.
Acima ou abaixo do retorno ponderado pelo tempo. Acima, significa que o dinheiro tendeu a chegar antes de períodos bons; abaixo, antes de períodos ruins.
É sempre uma taxa anual, então pode ser comparada diretamente com a taxa de uma aplicação de renda fixa: é o rendimento que uma conta remunerada precisaria pagar para produzir o mesmo resultado com os mesmos aportes.

Limitações

Não serve para comparar com índices ou fundos. Depende do tamanho e da data dos aportes, que um índice não tem.
Períodos curtos parecem extremos. Algumas semanas de ganho, transformadas em taxa anual, produzem números implausíveis.
Fluxos incomuns. Quando grandes resgates são seguidos de novos aportes, a equação pode ter mais de uma solução, e o número precisa ser lido com cuidado.

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